一个不一样的证明

$$\sum_{i=1}^{x} \left\lfloor \dfrac{x}{i} \right\rfloor \bmod 2 = \left\lfloor \sqrt{x} \right\rfloor \bmod 2$$

的思路，不需要任何数论知识。

考虑反比例函数 $y=\dfrac{x}{i}$ 在第一象限内的图象：

注意到第一象限内 $y=\dfrac{x}{i}$ 下的整点集大小即为原式，且这个点集关于直线 $y=x$ 对称。

考虑将不在 $y=x$ 图象上的点两两对应，由于对 $2$ 取模，所以只考虑 $y=x$ 图象上点，数量是 $\sqrt{n}$ 个。

于是原结论成立，剩下的求 $\sum\limits_{i=1}^{n} \left( \left\lfloor \sqrt{x} \right\rfloor \bmod 2 \right)$ 是简单的，不再赘述。

另外这个题评 6 是不是太高了？